為了求解根號19,我們可以使用一種稱為“牛頓迭代法”的方法，這種方法的基本思想是從一個初始近似值$x_0$開始，然后通過迭代公式不斷逼近真實值，在這個問題中，我們要求解的函數是$f(x) = x^2 - 19$,我們需要找到一個數$x$,使得$f(x) = 0$。

我們可以選擇一個初始近似值，x_0=4$,然后使用迭代公式：

$x_{n+1}=x_n-f(x_n)/f'(x_n)$

$f'(x)$表示函數$f(x)$的導數，在這個例子中，我們有：

$f'(x)=2x$

現在我們可以開始迭代：

$x_1=4-(4^2-19)/2\times4=4-19/8=4-2.375=1.625$

$x_2=1.625-(1.625^2-19)/2\times1.625\approx1.625-0.0078125\approx1.6171875$

我們可以繼續迭代，直到結果收斂到一個足夠精確的值，在這個例子中，我們可以看到結果已經非常接近了：

$|x_1-x_2|=|1.625-1.6171875|=0.0078125< 0.01$

我們可以認為根號19約等于1.6171875。

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